О векторах

Просто для интереса — небольшое знакомство с фундаментальным понятием современной математики. Изложение неформальное и нестрогое. У неподготовленного читателя должны возникать вопросы.

Для начала немного философии: векторы и разные другие математические понятия — это инструменты. Инструмент ценен не сам по себе, а тем, что с его помощью можно выполнять какие-то работы. Так и математические понятия и теории важны тем, что с их помощью можно решать конкретные задачи. Понятие векторного пространства является в современной математике одним из самых востребованных. Этим они выполняют связывающую функцию: в совершенно разных по происхождению задачах можно пользоваться одной терминологией, сходными подходами и геометрическими идеями. Это удивительно: когда одна и та же математическая структура появляется в разных областях знания.

Векторным (или линейным) пространством называется множество, для элементов которого определены две операции: сложение и умножение на числа. (Предполагается, что эти операции обладают естественными свойствами, которые позволю себе не перечислять.) Элементы векторного называются векторами.

Примеры.
1. По мотивам школьной геометрии. Зафиксируем точку на плоскости (назовём её O) и рассмотрим множество «палочек со стрелочками» — стрелок, началом которых служит O, а концом — произвольная точка пространства. Такие стрелки называются направленными отрезками. На множестве направленных отрезков сложение вводится по правилу параллелограмма

(параллелограмм справа, на стрелки слева не обращайте внимания), а умножение понимается как растяжение: при умножении на 2 стрелка растягивается в 2 раза, а при умножении на -3 — растягивается в 3 раза и меняет направление на противоположное. Получается векторное пространство.

Его удобство в геометрии состоит в том, что точки плоскости находятся во взаимно-однозначном отношении с векторами, и вместо того чтобы доказывать утверждения для точек, можно доказывать утверждения для векторов. Например, не зная никаких теорем и признаков равенства треугольников, одними лишь операциями с векторами можно доказать классическое свойство медиан треугольника (что они пересекаются в одной точке). Однако аналогичное свойство высот доказать не получится: нужно ввести дополнительную операцию — скалярное произведение. Вооружившись скалярным произведением, можно доказать все теоремы геометрии.

Беда школьной теории векторов в том, что на самом деле плоскость — не векторное пространство (а так называемое аффинное — близко к векторному, но не то же самое). И поэтому изложение получается мутным.

2. Возьмём некоторое целое число n (например, n=5). Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел. Операции сложения и умножения на число определим покомпонентно:
(u1, ...,  un) + (v1, ..., vn) = (u1+v1, ..., un+vn)
λ(u1, ...,  un) = (λ u1, ...,  λ un)
Получается пространство, которое называется n-мерным арифметическим пространством. Оно очень удобно, например, для изучения систем линейных уравнений: например, набор неизвестных можно считать неизвестным вектором.

Арифметические пространства широко используются в анализе: функцию нескольких переменных можно рассматривать как функцию одного векторного переменного.

Если ввести на плоскости или в пространстве систему координат, каждая точка задаётся парой (соответственно тройкой) чисел, и плоскость (пространство) можно отождествить с двумерным (трёхмерным) арифметическим пространством.

3. В анализе широко используются функциональные пространства, то есть пространства, состоящие из функций, обладающих некоторыми свойствами.

Например, рассмотрим множество функций, ограниченных на отрезке [0,1]. Сложение и умножение определим поточечно: если f и g — две функции из нашего множества, положим
(f+g)(t) = f(t) + g(t); (λ f)(t) = λf(t)

4. В дифференциальной геометрии очень важно понятие касательного вектора. Но, пожалуй, мы его не будем рассматривать.

Часто рассматривают линейные пространства, на которых заданы дополнительные структуры: например, скалярное произведение, умножение, топология и т.п.

Как правило, предметом той или иной математической теории являются множества с заданной на них структурой и отображения таких множеств, в некотором смысле согласованные с этой структурой. В случае линейных пространствах речь идёт о линейной структуре, то есть о возможности выполнения действий сложения и умножения на число. Естественными отображениями линейных  пространств являются так называемые линейные операторы. Именно, отображение A двух линейных пространств E и F называется линейным оператором, если оно сохраняет сложение и умножение на число:
A(u+v) = Au + Av
A(λu) = λ Au
(скобки после оператора обычно не пишут). В отдельных теориях могут накладываться дополнительные ограничения: например, непрерывность.