Создать тему  Создать ответ 
Алгебра Клиффорда
15-03-2014, 01:25    
Сообщение: #1
arseniiv

± ∓
Сообщений: 227
Зарегистрирован: 05.07.12

Rainbow  
Пускай есть векторное пространство V над полем F и квадратичная форма Q: V → F. Алгебра Клиффорда Cℓ(F, Q) — это ассоциативная алгебра с единицей над F такая, что V ⊂ Cℓ(F, Q) и ∀a ∈ V . aa = Qa.

Можно показать, что если V′ изоморфно V, и Q переводится этим изоморфизмом в Q′, то Cℓ(F, Q′) изоморфна Cℓ(F, Q), так что все алгебры Клиффорда с одинаковой сигнатурой Q изоморфны. Если Q в каноническом виде содержит p положительных квадратов координат, m отрицательных квадратов координат, и от z координат никак не зависит, соответствующая а. К. обозначается Cℓp, z, m(F), и ещё есть сокращения
Cℓp, m ≡ Cℓp, 0, m,
Cℓp ≡ Cℓp, 0, 0.

Cℓ(F, Q) можно построить явно как фактор-алгебру тензорной алгебры T(V) по идеалу, порождаемому элементами вида a ⊗ a − Qa, a ∈ V. (Слова-то какие! Пришлось разбираться, что это значит, зато удобное определение выходит.)

Пускай, значит, у нас есть Cℓ(F, Q) и базис (e1, …, ep + z + m), в котором Q имеет канонический вид. Тогда
ei ej = if i ≠ j then −ej ei else qi, qi ∈ {0, ±1}.
Т. е. всё, теперь можно что-то считать.

Можно заметить, что размерность Cℓ(F, Q) равна 2dim V, т. к. базис V можно продолжить до базиса алгебры, добавив всевозможные произведения ei.

Будем говорить, что произведение k базисных векторов имеет степень (grade) k. Линейная комбинация элементов одинаковой степени имеет ту же степень. Это определение степени не зависит от базиса, и, и таким образом, любой элемент алгебры однозначно раскладывается в сумму k-векторов (элементов степени k). 0-вектор — скаляр, элемент F. 1-вектор — понятно, обычный вектор. 2-вектор — бивектор и т. д.. Элемент степени dim V — псевдоскаляр, а псевдовектор — степени на одну меньше. Обозначим слагаемое степени k в x как ⟨x⟩k, а степень x, если она определена, как gr x.

Ещё одна вещь, которую нетрудно понять по определению через базис — транспонирование T. (ei(1)⋯ei(n))T :​= ei(n)⋯ei(1), а с линейной комбинацией оно так: (αa + βb)T = αaT + βbT. В итоге получается (ab)T = bTaT.

(И ещё две инволюции на заметку: grade involution α, которая определяется на векторах как смена знака, а дальше α(ab) = α(a)α(b), и сопряжение z* :​= α(z)T = α(zT).)

Рассмотрим антисимметризацию произведения из Cℓ: a ∧ b :​= (ab − ba) / 2!, a ∧ b ∧ c :​= (abc − acb − bac + bca + cab − cba) / 3! and so on (a, b, c ∈ V). Относительно ∧ получится внешняя алгебра. Так что если взять Q ≡ 0, ab = a ∧ b, и видно, что внешняя алгебра является частным случаем алгебры Клиффорда.
Для любых элементов a, b определённой степени верно a ∧ b = ⟨ab⟩gr a + gr b. На остальные это тождество можно распространить по линейности, что даёт способ вычисления внешнего произведения.

Остаток a ⋅ b :​= ab − a ∧ b на векторах совпадает со скалярным произведением: это будет (ab + ba) / 2, симметричная билинейная форма, соответствующая Q. А вот на все элементы алгебры оно так просто не распространяется: симметризация даст одно, а (ab − a ∧ b) — другое, так что на волне хаоса ⋅ определяют как ⟨ab⟩gr b − gr a и зовут left contraction. Ещё можно определить произведение (a, b) :​= ⟨aTb⟩0; (a, a) продолжает Q на всю алгебру целиком, так что пускай ещё ‖a‖2 :​= (a, a). (Квадрат прямо в обозначении, потому что не обязательна положительная определённость Q. Пишут же в СТО «ds2».)
На тему произведений, связанных со скалярным на V, я ещё напишу. Пока сам не совсем устаканил их отношения.

Элементы, представимые как произведение векторов, называются versors. Они всегда обратимы: u−1 = uT / (uuT), хотя обратимы не только они (и вроде, не любой обратный можно будет получить по такой формуле). Ортогональные преобразования можно сделать с помощью умножения на versor с двух сторон: u−1xu, подробнее тоже потом.

Элементы, представимые как внешнее произведение векторов, называются blades, и интуитивно представляют собой ориентированный элемент площади, объёма и т. д.. Интересно, что транспонирование таких произведений тоже обращает порядок множителей.

Т. к. всегда можно перейти к базису, где у Q канонический вид, в примерах я буду использовать только его.

Пример 0. Cℓ0(F) ~ F, т. к. имеет базис (1).

Пример 1+. Cℓ1(F) имеет базис (1, j), jj = 1. Cℓ1(​R) ~ R ⊕ R и имеет делители нуля: (a, 0)(0, b) = (0, 0).

Пример 1. Cℓ0, 1(F) имеет базис (1, i), ii = −1. Эта алгебра изоморфна C ⊗ F, так что Cℓ0, 1(​R) ~ C. Сопряжение элемента этой алгебры соответствует комплексному сопряжению.

Пример 10. Cℓ0, 1, 0(F) имеет базис (1, ε), εε = 0. Как можно догадаться, такая алгебра тоже имеет делители нуля. Не помню, чему такому простому Cℓ0, 1, 0(R или C) изоморфна, и был бы рад услышать!

Пример 2+. Cℓ2(​R) имеет базис (1, i, j, ij), ii = jj = 1, (ij)(ij) = −jiij = −jj = −1 и изоморфна алгебре квадратных матриц 2×2, M2(​R). a ∧ b позволяет вычислять площади многоугольников.

Пример 2. Cℓ0, 2(​R) ~ H. (И тут опять сопряжение соответствует кватернионному.)

Пример 2±. Cℓ1, 1(​R) ~ M2(​R).

Пример 30−. Элементы с чётными степенями образуют чётную подалгебру Cℓ0. Cℓ00, 3(​R) ~ H (опять).

Пример ∞. http://en.wikipedia.org/wiki/Classificat...d_algebras. Эта классификация близко связана с т. н. периодичностью Ботта (Bott periodicity), которая появляется в какой-то другой области, и здесь похожее явление названо так же. По ссылке и про неё есть. На основе этой периодичности один забыл уже кто написал оригинальную реализацию алгебр Клиффорда над R на хаскеле на основе 4-x реализаций A ↦ C ⊗ A, A ↦ A ⊕ A, A ↦ H ⊗ A и A ↦ M2(A) и имеющейся, конечно, там уже «реализации» R.

Псевдоскаляры представляют собой одномерное подпространство, и если Q — невырожденная, можно получить единичный псевдоскаляр I (какой-нибудь). I связан со звёздочкой Ходжа ⋆ (не той, которая отображает векторы в формы):
⋆a = a ⋅ I−1 (хм, надо посмотреть, с чего там минус).
⋆, как обычно, в общем случае не инволюция, ⋆−1a = a ⋅ I.

Этот пост я писал дольше 8 часов. :o

P. S. Считайте, что полей с характеристикой 2 в природе не существует. Они тут, как и везде, портят ситуацию. :(

Honor thy error as a hidden intention
Вебсайт Найти все сообщения
Цитировать это сообщение
15-03-2014, 01:33    
Сообщение: #2
arseniiv

± ∓
Сообщений: 227
Зарегистрирован: 05.07.12

RE: Алгебра Клиффорда
(15-03-2014 01:25)arseniiv писал(а):  Алгебра Клиффорда Cℓ(F, Q) — это ассоциативная алгебра с единицей над F такая, что V ⊂ Cℓ(F, Q) и ∀a ∈ V . aa = Qa.
Точнее, т. к. таких может быть много, свободнейшая из них.

Honor thy error as a hidden intention
Вебсайт Найти все сообщения
Цитировать это сообщение
15-03-2014, 17:07    
Сообщение: #3
arseniiv

± ∓
Сообщений: 227
Зарегистрирован: 05.07.12

RE: Алгебра Клиффорда
Очевидные вычислительные следствия.

Если a ∈ V, можно показать, что
a ⋅ B = (aB − α(B)a) / 2
a ∧ B = (aB + α(B)a) / 2

Инволюции xT, α(x) и x* равны ±x в зависимости от gr x mod 4:

0123
xT++
α(x)++
x*++
Вебсайт Найти все сообщения
Цитировать это сообщение
16-03-2014, 22:16    
Сообщение: #4
arseniiv

± ∓
Сообщений: 227
Зарегистрирован: 05.07.12

 
То, что я писал про норму, применимо, конечно, только к упорядоченным F. Вообще, дальше предлагаю ограничиться полями R и C.

Экспонента. Её, как обычно, определяют с помощью ряда sum(n ∈ 0..∞) xn / n!. Сходится — определена, расходится — не повезло (не смотрел пока; вдруг сходится на всей алгебре).

Как обычно, если x и y коммутируют, exp(x + y) = exp x exp y, и если x2 ∈ R, то
x2 = +a2 даёт exp x = ch a + x sh a,
x2 = −a2 даёт exp x = cos a + x sin a, и
x2 = 0 даёт exp x = 1 + x.

Если A — бивектор, R = exp(A/2) представляет собой поворот в плоскости A на ‖A‖; в какую сторону — зависит от ориентации. Берётся что угодно, ставится между R и RT — и вот оно уже повёрнуто. Не важно, вектор там был или что-то ещё, или сумма (видно, что из-за линейности поворот подействует на каждое слагаемое). Пока без обоснования. RXRT или RTXR согласуется с обычным определением угла поворота, тоже пока не помню. :rolleyes:

В общем, мне скучно пересказывать книги дальше — задавайте вопросы!

Honor thy error as a hidden intention
Вебсайт Найти все сообщения
Цитировать это сообщение
16-03-2014, 23:59    
Сообщение: #5
arseniiv

± ∓
Сообщений: 227
Зарегистрирован: 05.07.12

 
Связи с остальным телом математики для Кваса, который не пишет в теме: :rolleyes:

Во-первых, как видно, Cℓ(​R) естественным образом дают всевозможные гиперкомплексные числа.

Во-вторых… эээ. Всё, не знаю. Связи-то есть…

Honor thy error as a hidden intention
Вебсайт Найти все сообщения
Цитировать это сообщение
Создать ответ 


Переход:


Пользователи просматривают эту тему: 1 Гость(ей)