Пускай есть векторное пространство V над полем F и квадратичная форма Q: V → F. Алгебра Клиффорда Cℓ(F, Q) — это ассоциативная алгебра с единицей над F такая, что V ⊂ Cℓ(F, Q) и ∀a ∈ V . aa = Qa.
Можно показать, что если V′ изоморфно V, и Q переводится этим изоморфизмом в Q′, то Cℓ(F, Q′) изоморфна Cℓ(F, Q), так что все алгебры Клиффорда с одинаковой сигнатурой Q изоморфны. Если Q в каноническом виде содержит p положительных квадратов координат, m отрицательных квадратов координат, и от z координат никак не зависит, соответствующая а. К. обозначается Cℓ
p, z, m(F), и ещё есть сокращения
Cℓ
p, m ≡ Cℓ
p, 0, m,
Cℓ
p ≡ Cℓ
p, 0, 0.
Cℓ(F, Q) можно построить явно как фактор-алгебру тензорной алгебры T(V) по идеалу, порождаемому элементами вида a ⊗ a − Qa, a ∈ V. (Слова-то какие! Пришлось разбираться, что это значит, зато удобное определение выходит.)
Пускай, значит, у нас есть Cℓ(F, Q) и базис (e
1, …, e
p + z + m), в котором Q имеет канонический вид. Тогда
e
i e
j = if i ≠ j then −e
j e
i else q
i, q
i ∈ {0, ±1}.
Т. е. всё, теперь можно что-то считать.
Можно заметить, что размерность Cℓ(F, Q) равна 2
dim V, т. к. базис V можно продолжить до базиса алгебры, добавив всевозможные произведения e
i.
Будем говорить, что произведение k базисных векторов имеет степень (grade) k. Линейная комбинация элементов одинаковой степени имеет ту же степень. Это определение степени не зависит от базиса, и, и таким образом, любой элемент алгебры однозначно раскладывается в сумму k-векторов (элементов степени k). 0-вектор — скаляр, элемент F. 1-вектор — понятно, обычный вектор. 2-вектор — бивектор и т. д.. Элемент степени dim V — псевдоскаляр, а псевдовектор — степени на одну меньше. Обозначим слагаемое степени k в x как ⟨x⟩
k, а степень x, если она определена, как gr x.
Ещё одна вещь, которую нетрудно понять по определению через базис — транспонирование
T. (e
i(1)⋯e
i(n))
T := e
i(n)⋯e
i(1), а с линейной комбинацией оно так: (αa + βb)
T = αa
T + βb
T. В итоге получается (ab)
T = b
Ta
T.
(И ещё две инволюции на заметку: grade involution α, которая определяется на векторах как смена знака, а дальше α(ab) = α(a)α(b), и сопряжение z* := α(z)
T = α(z
T).)
Рассмотрим антисимметризацию произведения из Cℓ: a ∧ b := (ab − ba) / 2!, a ∧ b ∧ c := (abc − acb − bac + bca + cab − cba) / 3! and so on (a, b, c ∈ V). Относительно ∧ получится внешняя алгебра. Так что если взять Q ≡ 0, ab = a ∧ b, и видно, что внешняя алгебра является частным случаем алгебры Клиффорда.
Для любых элементов a, b определённой степени верно a ∧ b = ⟨ab⟩
gr a + gr b. На остальные это тождество можно распространить по линейности, что даёт способ вычисления внешнего произведения.
Остаток a ⋅ b := ab − a ∧ b на векторах совпадает со скалярным произведением: это будет (ab + ba) / 2, симметричная билинейная форма, соответствующая Q. А вот на все элементы алгебры оно так просто не распространяется: симметризация даст одно, а (ab − a ∧ b) — другое, так что на волне хаоса ⋅ определяют как ⟨ab⟩
gr b − gr a и зовут left contraction. Ещё можно определить произведение (a, b) := ⟨a
Tb⟩
0; (a, a) продолжает Q на всю алгебру целиком, так что пускай ещё ‖a‖
2 := (a, a). (Квадрат прямо в обозначении, потому что не обязательна положительная определённость Q. Пишут же в СТО «ds
2».)
На тему произведений, связанных со скалярным на V, я ещё напишу. Пока сам не совсем устаканил их отношения.
Элементы, представимые как произведение векторов, называются versors. Они всегда обратимы: u
−1 = u
T / (uu
T), хотя обратимы не только они (и вроде, не любой обратный можно будет получить по такой формуле). Ортогональные преобразования можно сделать с помощью умножения на versor с двух сторон: u
−1xu, подробнее тоже потом.
Элементы, представимые как внешнее произведение векторов, называются blades, и интуитивно представляют собой ориентированный элемент площади, объёма и т. д.. Интересно, что транспонирование таких произведений тоже обращает порядок множителей.
Т. к. всегда можно перейти к базису, где у Q канонический вид, в примерах я буду использовать только его.
Пример 0. Cℓ
0(F) ~ F, т. к. имеет базис (1).
Пример 1
+. Cℓ
1(F) имеет базис (1, j), jj = 1. Cℓ
1(R) ~ R ⊕ R и имеет делители нуля: (a, 0)(0, b) = (0, 0).
Пример 1
−. Cℓ
0, 1(F) имеет базис (1, i), ii = −1. Эта алгебра изоморфна C ⊗ F, так что Cℓ
0, 1(R) ~ C. Сопряжение элемента этой алгебры соответствует комплексному сопряжению.
Пример 1
0. Cℓ
0, 1, 0(F) имеет базис (1, ε), εε = 0. Как можно догадаться, такая алгебра тоже имеет делители нуля. Не помню, чему такому простому Cℓ
0, 1, 0(R или C) изоморфна, и был бы рад услышать!
Пример 2
+. Cℓ
2(R) имеет базис (1, i, j, ij), ii = jj = 1, (ij)(ij) = −jiij = −jj = −1 и изоморфна алгебре квадратных матриц 2×2, M
2(R). a ∧ b позволяет вычислять площади многоугольников.
Пример 2
−. Cℓ
0, 2(R) ~ H. (И тут опять сопряжение соответствует кватернионному.)
Пример 2
±. Cℓ
1, 1(R) ~ M
2(R).
Пример 3
0−. Элементы с чётными степенями образуют чётную подалгебру Cℓ
0. Cℓ
00, 3(R) ~ H (опять).
Пример ∞.
http://en.wikipedia.org/wiki/Classificat...d_algebras. Эта классификация близко связана с т. н. периодичностью Ботта (Bott periodicity), которая появляется в какой-то другой области, и здесь похожее явление названо так же. По ссылке и про неё есть. На основе этой периодичности один забыл уже кто написал оригинальную реализацию алгебр Клиффорда над R на хаскеле на основе 4-x реализаций A ↦ C ⊗ A, A ↦ A ⊕ A, A ↦ H ⊗ A и A ↦ M
2(A) и имеющейся, конечно, там уже «реализации» R.
Псевдоскаляры представляют собой одномерное подпространство, и если Q — невырожденная, можно получить единичный псевдоскаляр I (какой-нибудь). I связан со звёздочкой Ходжа ⋆ (не той, которая отображает векторы в формы):
⋆a = a ⋅ I
−1 (хм, надо посмотреть, с чего там минус).
⋆, как обычно, в общем случае не инволюция, ⋆
−1a = a ⋅ I.
Этот пост я писал дольше 8 часов.
P. S. Считайте, что полей с характеристикой 2 в природе не существует. Они тут, как и везде, портят ситуацию.