О теории вероятностей

Вообще, теорию вероятностей я не очень. И знаю её не очень. А на Западе вообще Mathematics отдельно, а Probability отдельно. Но тем не менее.

У меня была эпичная задумка насчёт написания про теорию вероятностей, но из-за эпичности она не написалась. Попробуем в виде заметок от случая к случаю.

1. Теория вероятностей представляет собой некоторый математический аппарат. Для её применения в математической модели требуется массовость событий. То есть либо много одновременно, либо одно событие повторяется много-много раз, либо то и другое вместе. Отсутствие массовости — это звоночек, что теория вероятностей в данном вопросе ни при чём. Надо бы подобрать пример из языков. Что-то типа того, что с точки зрения теории вероятностей бессмысленно говорить о «вероятности родства ПИЕ и ПУр». Они или родственны, или нет. Вот если было бы десять тысяч ПИЕ и ПУР… Я подозреваю, что пример некорректный, но вы поняли. Вообще, массовость явления и правдоподобие рассуждений — разные вещи.

Наглядной моделью массового явления, для которого подходит теория вероятностей,— дождь. Мы не знаем, когда именно и где упадёт очередная капля, однако можно с уверенностью предсказать, что две соседние тротуарные плитки будут одинаково мокрыми.

«Доктор, когда я сплю, у меня борода на одеяле или под одеялом?» — «Пятьдесят процентов бород на одеяле, пятьдесят — под одеялом.» — «Доктор, но вот именно моя борода как?» — «Отдельная борода науку не интересует.»

Когда теория вероятностей применяется к изучению бород, её интересуют свойства, относящиеся ко всем бородам на свете. Она может, например, сказать, какова доля надодеяльных бород. Тем из нас, у кого есть борода, может быть немного обидно, что про его бороду теория вероятностей ничего не скажет. Более того, если выбрать тысячу бородачей, вряд ли во время сна борода под одеялом будет ровно у пятиста (хотя должна быть близко, если верить тому доктору). Таковы возможности теории. Надо понимать, что чудес не бывает. Если вас интересуют конкретные бороды, заводите базу данных по всем бородам на свете да не забывайте вовремя её обновлять. Тогда вы и про свою бороду будете всё знать, и про любую другую. Однако это гораздо «дороже», чем использовать теорию вероятностей.

Таким образом, использовать теорию вероятностей или нет — вопрос модели. Исследователь должен решить, целесообразно это или нет. Надо отметить, что теория вероятностей позволяет увидеть за деревьями лес, а за каплями — дождь. Так что не стоит ею пренебрегать.

Кстати, вероятностное описание может быть полезно и в детерминированных математических задачах. Интересующихся отправляю к теории динамических систем.

2. Для нематематиков поясню, что в математике есть такие диалектические противоположности: интуиция и формализация. Интуиция без формализации превращается в бездоказательное махание руками. (А доказательство — единственный способ получения математической истины.) Формализация без интуиции — это груды формул, которые непонятно, откуда и непонятно, для чего.

Массовые события и прочая лирика — это как раз к интуиции. А формализация используется следующая.

Определение. Вероятностным пространством называется тройка , состоящая из непустого множества Ω, σ-алгебры его подмножеств и меры на , такой, что . Элементы множества Ω называются элементарными исходами, элементы σ-алгебры — событиями; для число называется вероятностью события A.

Такое определение вряд ли может быть понятным. Постараюсь пояснить.

Во-первых, рассмотрение пар, троек и пр. в подобных определениях есть стандартная математическая формализация выражения «множество с заданным на нём». Что такое «заданное что-то на чём-то», математически непонятно. А пары или тройки очень даже понятны — это элементы некоторых декартовых произведений. В любом случае, данная формализация говорит нашей интуиции, что вероятностное пространство — это не просто множество, а множество с некоторыми выбранными и зафиксированными семейством подмножеств и мерой на нём.

Во-вторых, понятие σ-алгебры вообще можете игнорировать. Если мне что-то от него понадобится, буду добавлять волшебные слова «потому что сигма-алгебра», всем сразу ясно и понятно. Короче говоря, — некий набор подмножеств Ω.

В-третьих, что такое мера? Дело вот в чём: любому множеству ставится в соответствие число . При этом

для непересекающихся (как говорят, дизъюнктных) A и B. (Должен сказать, что аналогичное равенство верно и для счётного числа попарно дизъюнктных множеств).

Интуиция здесь следующая. Элементарные, «нечленимые» результаты некоторого «опыта» отождествляются с точками множества Ω. Всякое «событие» полностью определяется теми элементарными исходами, которые ему соответствуют, поэтому событие просто-напросто отождествляется со множеством благопрепятствующих ему элементарных исходов. Выделение некоторой σ-алгебры позволяет отметать «патологические» подмножества, если они имеются. Ну а вероятность есть вероятность: «пациент либо жив, либо мёртв».

Дальше будут примеры, станет ещё понятнее.

Из определения вероятностного пространства следует, что

и для любого . Напомню, что обозначает пустое множество. Кстати, для любого вероятностного пространства множества и являются событиями. (Потому что — σ-алгебра, хе-хе.) Событие называется достоверным, а событие — невозможным.

Спасибо, Квас. Очень интересно, хотя многое мне непонятно (по понятным причинам ). Буду разбираться и ждать продолжения.

Ну в торадицыонном семестровом курсе тервера сигма-алгебру даже не упоминают. Есть и есть конкретный исход , ну и есть соответственно . Этим и обходятся.

3. Примеры вероятностных пространств.

Пример 1. Пусть множество конечно или счётно. В качестве сигма-алгебры событий рассмотрим совокупность всех подмножеств множества Ω. Вероятностная мера определяется следующим образом: предположим, что каждому исходу поставлено в соответствие число , причём . Эти числа задают вероятности элементарных исходов. Вероятность произвольного события A определяется как сумма вероятностей составляющих его исходов, то есть


В частности, если исходов конечное число, и мы по каким-то соображениям симметрии считаем их равновероятными, приходим к классической формуле «вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов». Например, при бросании игральной кости исходов всего шесть, и можно принять Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; событие «выпадет чётное число очков» является  множеством {2, 4, 6} (три «благоприятных» исхода), и его вероятность равна 3/6 = 1/2.

На самом деле мы сейчас были немного похожи на блондинку, которая утверждает, что вероятность встретить на улице динозавра равна 50% (как правило, блондинки измеряют вероятность в процентах), поскольку «или встретишь, или нет». На самом деле хорошо уравновешенная игральная кость — недешёвая вещь. А у обычной какие-то грани будут выпадать чаще, чем  полагается, какие-то реже, что разрушает, например, теорию игры в нарды. Чтобы теория вероятностей дала статистически осмысленные результаты для неуравновешенной кости, нужно сначала определить вероятности исходов. Например, для приближённого их нахождения можно использовать статистические методы.

Таким образом, теория вероятностей достаточно обща, чтобы годиться и для уравновешенных, и для неуравновешенных костей. Однако она не совершает чудес: без дополнительного физического исследования вы не сможете выяснить, насколько хорошо уравновешена данная кость.

(06-02-2013 11:40)Ickander писал(а):  Ну в торадицыонном семестровом курсе тервера сигма-алгебру даже не упоминают. Есть и есть конкретный исход , ну и есть соответственно . Этим и обходятся.

Маловероятно. Без событий ничего интересного не получится. Вы, наверное, просто слово «σ-алгебра» не употребляли.
Вероятность определяется не на самих элементарных исходах, а на их множетвах (Вы же наверняка писали что-нибудь типа . А как можно пересечь элементарные исходы?). Вот эти множества исходов, на которых определена вероятность, и должны образовывать σ-алгебру.
А σ-алгебра — это всего лишь семейство подмножеств, содержащее пустое множество и замкнутое относительно дополнения и счётного объединения.

4. Теперь рассмотрим эксперимент «бросание наугад точки в единичный квадрат». В качестве множества исходов Ω здесь разумно рассмотреть множество точек квадрата , то есть множество пар чисел (x, y), 0 ≤ x, y ≤ 1. В качестве множества событий здесь рассматривается σ-алгебра борелевских подмножеств квадрата. Вероятность события естественно определяется как отношение площади события к площади квадрата, то есть (поскольку площадь квадрата равна 1),

Между прочим, можно доказать существование «очень пористых» множеств на плоскости, которые не имеют площади. Поэтому мы вынуждены рассматривать не всевозможные подмножества квадрата, а более-менее приличные — в данном случае борелевские. А что это такое — не утруждайтесь. Главное, площадь у них есть, а вы узнали фамилию выдающегося математика.

Кстати, описанный эксперимент можно применить для вычисления определённого интеграла. Если график некоторой (для простоты непрерывной) функции лежит в рассматриваемом квадрате, то её интеграл по [0, 1] численно равен площади части квадрата, лежащей под графиком, то есть вероятности некоторого события. Эту вероятность можно искать статистически. Таким образом, статистическими методами можно вычислять некоторые вполне себе детерминированные величины. Такие методы называются методами Монте-Карло.

Квас, порекомендуй книжку для юных математиков, чтобы филологам хоть что-то стало ясно.

Я размениваться не буду и сразу назову хорошие книги.

Алгебра: А. И. Кострикин. Введение в алгебру. Но это трёхтомник, и желательно хотя бы первые два тома осилить. Многовато, но что-то ничего больше не приходит в голову.
Анализ:
Не стоит пренебрегать Фихтенгольцем, хоть он и староват. По крайней мере, начала анализа у него изложены хорошо, причём написано складно и понятно. Есть кое-какие стандартные учебники (Кудрявцев, Ильин—Поздняк), но я, наверно, отмечу «Основы математического анализа» У. Рудина. Дополнительное чтение — «Математический анализ. Функции одной переменной» Шилова.
Дифуры: «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Арнольда.

Кстати, по терверу вообще не знаю учебников, кроме задачника Гмурмана (хорош, с кучей рецептов). Мне лекций хватало за глаза (студентом я стохастические науки вообще на дух не переносил). Феллер какой-то был...