Создать тему  Создать ответ 
Теория множеств I: наивная теория множеств
03-01-2013, 00:40    
Сообщение: #11
Gaeilgeóir

Moderator
Сообщений: 1497
Зарегистрирован: 25.10.12

 
Прочитал первый пост - вроде всё понятно. Но остался назойливый вопрос: а зачем это надо? Извините профана...

Разовью мысль: хотя я этим и не заморачиваюсь лично, я прекрасно себе представляю, зачем нужно интегрирование, квантовая физика и т.д. Я в реальной жизни вижу результаты их применения. А от теории множеств какая польза?
Найти все сообщения
Цитировать это сообщение
03-01-2013, 01:20    
Сообщение: #12
Flavia

Senior Member
Сообщений: 579
Зарегистрирован: 13.11.12

RE: Теория множеств I: наивная теория множеств
Ну например, реляционная модель данных, которая используется в базах данных.

Je suis un Ange déchu.
Найти все сообщения
Цитировать это сообщение
03-01-2013, 02:10    
Сообщение: #13
Quasus

Гоф-фурьер
Сообщений: 625
Зарегистрирован: 17.06.12

RE: Теория множеств I: наивная теория множеств
Теория множеств в первую очередь — это язык, из которого вырастает язык других частей математики. На фундаменте понятий «множество», «элемент», «принадлежать» и производного от них «отображение» можно построить удивительно много. Монументальный пример — серия «Элементы математики» Бурбаки, в которой на основе теории множеств изложена вся фундаментальная математика. В действительности отдельные математические дисциплины обычно изучают некий класс множеств с заданными на них структурами и отображения таких множеств, некоторым образом согласованные с этими структурами. Такие классы множеств и отображений называются категориями. Например, в алгебре изучается категория групп. Её объектами являются множества с заданными на них бинарными операциями, удовлетворяющими некоторым аксиомам; а бинарная операция на множестве G — это отображение G × G → G. В топологии изучаются, например, топологические пространства и их непрерывные отображения. Топологическое пространство — это опять же множество с заданной на нём топологической структурой (один из способов задания топологии на множестве X — определить отображение замыкания на совокупности подмножеств множества X). Интегрированием занимается теория пространств с мерой — опять же здесь множества, системы их подмножеств, отображения. Математический аппарат квантовой механики — функциональный анализ, теория гильбертовых пространств, где также отправным понятием является множество. Примеры можно умножать и умножать и умножать. Любая постбурбакистская книга по математике набита множествами под завязку.

Теория множеств изучает «лысые» множества, безо всякой структуры. Поэтому она очень общая и, следовательно, имеет мало содержательных результатов (если не копать вглубь, к основаниям математики). Обычному математику, как правило, достаточно «наивной» теории множеств, а по праздникам — леммы Цорна. :)

До Бурбаки люди обходились и без теории множеств. Коши, Вейерштрасс... Галуа вон создал теорию групп, не прибегая к теории множеств. Однако полезно иметь такой универсальный компактный язык, связывающий различные разделы математики. Часто фундаментальные понятия просты («элемент», «множество» и «принадлежать» — и из этого вырастает вся математика; другие замечательные примеры — понятия эквивалентности и порядка, аксиомы группы, определение непрерывного отображения и др.). За ними стоит большая работа мысли — работа по абстрагированию, которая преподнесла нам эти понятия на блюдечке.
Найти все сообщения
Цитировать это сообщение
03-01-2013, 07:17    
Сообщение: #14
Bʰudʰ

Member
Сообщений: 188
Зарегистрирован: 23.10.12

RE: Теория множеств I: наивная теория множеств
Offtop
Почитал биографию Галуа. Сижу в полном α‥ε…

Исполнитель роли Терминатора по решению суда сменил фамилию на Афроамериканоафроамериканец.
В противном случае артисту грозил штраф в $1.723 млрд.
Найти все сообщения
Цитировать это сообщение
15-01-2013, 00:36    
Сообщение: #15
arseniiv

± ∓
Сообщений: 227
Зарегистрирован: 05.07.12

RE: Теория множеств I: наивная теория множеств
(01-01-2013 11:27)Teilnehmer писал(а):  Может, сто́ит привести и «имплементацию» n-ок через множетсва, чтобы показать, что они не какие-то сторонние/несводимые, и что можно всё определить с помощью одних только множеств?
Может. Что-то я завис с этим уроком. Надо будет подумать…

Honor thy error as a hidden intention
Вебсайт Найти все сообщения
Цитировать это сообщение
04-09-2013, 21:44    
Сообщение: #16
arseniiv

± ∓
Сообщений: 227
Зарегистрирован: 05.07.12

RE: Теория множеств I: наивная теория множеств
Итак, закончив на логической нотации и обещании рассказать о функциях, я и не ожидал, что внезапно прервусь как на время, так и разрывом страницы. Так что я напишу немного о другом.

Булеан

Возьмём какое-нибудь множество A и впишем в рамочку. Будем дальше брать всякие множества и проверять, а не подмножества ли они этого A. Мы так можем перебрать их кучу, и для каждого мы знаем, что это или подмножество A, или не подмножество. Почему бы не объединить тогда их в два множества? Один будет содержать подмножества A, а другой остальные множества. К сожалению, второй объект никак нельзя сделать множеством (не потому что в нём бесконечное количество элементов — таких множеств мы уже насмотрелись порядочно, дефект не в этом), и об этом я поговорю потом. Зато множество подмножеств или булеан A настолько часто встречается, что у него есть даже не одно обозначение, хотя здесь будет одно: 2A.

Итак, 2A = { B | B ⊂ A }.

Объясню обозначение: если A — конечное множество, |2A| = 2|A|.

Действительно, пусть у нас есть множество A о n элементах. Добавив к нему ещё один элемент ҫ (отличающийся от всех остальных), образуем множество A′ о n + 1 элементах. Пускай у нас уже где-то получено 2A — можно ли как-то получить с его помощью 2A′? Можно. Все подмножества A′ можно разделить на два семейства: Ҫ, содержащие этот новый элемент ҫ и Ҫ̃, не содержащие. Последних столько же, сколько подмножеств у A — потому что они как раз и есть все эти подмножества. А первых? В каждом из них есть элемент ҫ, удалим его. Получатся опять все подмножества A.*. Получается |Ҫ| = |Ҫ̃| = |2A|. |2A′| = |Ҫ ∪ Ҫ̃| = |Ҫ| + |Ҫ̃| − |Ҫ ∩ Ҫ̃| = |2A| + |2A| + 0 = 2 ⋅ |2A|; у множества с n + 1 элементами в два раза больше подмножеств, чем у множества с n элементами. А у ∅ только одно подмножество, оно само. Тогда у одноэлементного подмножества 2 подмножества, у двухэлементного — 4 и т. д..

Пусть B ⊂ A и C ⊂ A. Рассмотрев их объединение, пересечение, разность и симметрическую разность, можно убедиться, что все они тоже подмножества A. Говорят, что булеан замкнут относительно операций ∪, ∩, \ и △ — их применение к его элементам не приводит ни к чему, находящемуся вне его. (Целые числа, например, замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения — а вот деление может привести к чему-то очень нецелому.)

* А почему? Попробуйте как-нибудь доказать, что нет ни недостающих подмножеств, ни лишних.

Honor thy error as a hidden intention
Вебсайт Найти все сообщения
Цитировать это сообщение
07-09-2013, 01:41    
Сообщение: #17
arseniiv

± ∓
Сообщений: 227
Зарегистрирован: 05.07.12

 
Та-та-та… Функции — это реки, несущие перемены. В общем, настало время функций.

Функция — это очень просто. Представьте себе этакий чёрный ящик с входом и выходом. Подаёте на вход какую-то штуку — на входе появляется какая-то штука. Или другая, или не другая, но точно единственная; подаёте другую штуку — что-то опять на выходе появляется. Ещё чёрный ящик совершенно нечувствительный к обстановке — где бы и когда вы не запустили в него a, на выходе всегда будет одинаковая a′. Если функция называется F, этот результат применения её к a обозначают F(a). Он один и всегда есть, никакой неоднозначности в записи.

Пример: ящик J, вычисляющий площадь квадрата с данной на вход ему стороной: ведь площадь квадрата не зависит от того, где этот квадрат и как повёрнут, а только от его сторон, которые все одинаковые. Можно про этот ящик сказать, что J(x) = x2. Ящик, вычисляющий площадь прямоугольника İ, тоже сгодится, несмотря на то что у ящика только один вход: он питается не отдельными числами, а парами (длина, ширина) — для того их и придумали, чтобы склеивать много в одно. Про него мы тоже всё знаем: İ(a, b) = ab. Надо заметить, что чёрный ящик может давать и что-то такое, что ни человек, ни компьютер не смогут вычислить ни за какое долгое время.

(Внимание! Если ваш ящик чувствителен к условиям, мы бесплатно заменим его нечувствительным. Секретным указанным выше способом мы замешаем вместе условия и входные данные.)

Ящик ящиком, а как определение это не годится (где ящики живут и из чего состоят? Как с ними управляться?). Давайте посмотрим, до чего додумались после создания теории множеств.

(Кстати, давайте посмотрим, до чего додумались после создания теории множеств насчёт пар. Тайльнемер выше предлагал рассказать об этом. Так вот, додумались, что у множество такого вида: {{a}, {a, b}} как представления пары (a, b) все нужные свойства выполняются. (Да, есть много других конструкций, у которых они тоже выполняются, но они сложнее в том или ином смысле.) «Все нужные свойства» — это эквивалентность (a, b) = (c, d) ⇔ a = c & b = d. А всякие тройки и четвёрки можно составлять из уже таких пар — например, вкладывая их всё время влево: (a, b, c) := ((a, b), c); (a, b, c, d) := (((a, b), c), d).)

Как вы помните, выше мы определили отношения, которые натуральным образом представляются подмножествами произведения двух (или бывает более; в частности, таблицы реляционных БД — это приукрашенные отношения стольких множеств, сколько у них столбцов) множеств. Давайте обсудим немного какое-нибудь отношение R ⊂ A × B.

Один элемент множества A может быть в данном отношении сразу с несколькими элементами множества B — да хоть со всеми (например, 1 ⩽ любого натурального числа, ∅ — подмножество любого множества). Но может и ровно с одним, и так для всех элементов A. Отношения с таким свойством назвают функциональными, они определяют некоторую зависимость элементов B от элементов A (но не обязательно наоборот!).

Отображение или функция из A в B — это тройка (R, A, B) такая, что ∀a ∈ A : ∃!b ∈ B : aRb. Высказывание, что f = (R, A, B) — функция, в человекоудобной форме записывается f: A → B.

Множества A и B засовываются в функцию для того, чтобы можно было узнать их при надобности — по одному только R нельзя восстановить B. A восстановить можно: если (R, A, B) — функция, то A = { a | ∃b : (a, b) ∈ R }. Оно присутствует в тройке только для симметрии (это упрощает много вещей и соблюдает одну из конвенций о правах множеств). A называют областью определения* функции f = (R, A, B) и обозначают dom f, а B — областью значений** cod f. [dom < domain, cod < codomain (помните про права множеств).] R называют графиком f; выделять это отношение есть необходимость редко, так что я не буду его никак обозначать.

Применение функции к элементу тоже надо определить: если f = (R, A, B), запись «f(a) = b» служит сокращением для «aRb».

Ещё часто хочется скорее применить функцию сразу ко многим элементам. Для этого есть немного смущающее обозначение f(A) — так как элементы у нас тоже множества, может возникнуть ситуация, когда непонятно, что обозначается.*** Принято при совпадении обозначений оговаривать контекст — если двусмысленности редки, как с модулем и мощностью множества, это допустимая мера; так что уж и быть, определим: f(A) := { f(a) | a ∈ dom f }. (Для тех читателей, кто, может быть, ещё сомневается в нужности обозначений: посмотрите как лаконично! Описали бы вы это словами?) f(A или a) называется образом A или a.

Давайте спустимся пока что на землю. Пускай вы видите функцию f: {α, β, γ, δ, ε} → {гласная, согласная, несогласная} с графиком {(α, гласная), (β, согласная), (δ, согласная), (ε, гласная), (γ, согласная)}. Тогда f(γ) = согласная; f({α, δ, ε}) = {согласная, гласная}; f(∅) = ∅.

f(буква), как видно, показывает, гласная это или согласная. Несмотря на то что буква могла бы быть в данном случае и «несогласной», этого нет. Фактически буквы только гласные и согласные. im f := f(dom f) называется образом f — это, грубо говоря, самый большой образ, который мы можем сделать этой функцией из чего бы то ни было. [im < image.] Образ, как вы видите, не обязан совпадать с областью значений.

Или вот посмотрите на μ: 2{1, 2, 3} \ ∅ → {1, 2, 3} с графиком {({1}, 1), ({2}, 2), ({1, 2}, 2), ({3}, 3), ({1, 3}, 3), ({2, 3}, 3), ({1, 2, 3}, 3)}****. Можно понимать её как выбор максимального элемента из переданного на вход множества. Можно определить аналогичную функцию μ2: 2Z \ ∅ → Z. Несмотря на то что она «делает то же», μ2 ≠ μ. Начать с того, что область определения μ2 шире!

В следующий раз мы поговорим, в каком же смысле они похожи (а вы пока попытайтесь выразить это сами в ответах) и о том, как поворачивать функцию в другую сторону и чем это грозит. А ещё о множествах и отношениях немного дальше, если не забуду, о чём.

* Резон: выражение f(чего-то там) определено тогда и только тогда, когда a ∈ dom f, потому dom f и называется областью определения.
** Аналогичные причины названия: выражение f(чего-то там) может иметь значения только из cod f.
*** Составьте такую функцию с помощью операций над множествами. Примеры могут навести на мысль. (Если ответов не будет, напишу я.)
**** Тренируем глаза и внимание.

Honor thy error as a hidden intention
Вебсайт Найти все сообщения
Цитировать это сообщение
08-09-2013, 13:21    
Сообщение: #18
arseniiv

± ∓
Сообщений: 227
Зарегистрирован: 05.07.12

RE: Теория множеств I: наивная теория множеств
Простите, мне пока ещё лень писать дальше. Позадавайте вопросы! :)

Honor thy error as a hidden intention
Вебсайт Найти все сообщения
Цитировать это сообщение
Создать ответ 


Переход:


Пользователи просматривают эту тему: 1 Гость(ей)