Ещё раз повторю, что множества бывают элементами других множеств (такие множества множеств называют ещё
семействами, чтобы лишний раз не упражняться в риторике). Например, прямая — это бесконечное множество точек, отрезок — тоже бесконечное множество точек (хотя он и имеет конечную длину — что с этим делать, я дальше расскажу). Множество отрезков, лежащих на данной прямой — это как раз семейство множеств. А ещё семейство — множество прямых, параллельных данной.
Итак, дорогие читатели, мы теперь можем немного манипулировать множествами. Сейчас я покажу вам ещё способы.
Во-первых, не стоит забывать, что мы можем составлять конечные множества, в которых содержится ровно то, что нам нужно: если x ∈ {a, b, c}, то x = a, или x = b, или x = c.
Мы можем также взять множество A, а потом отобрать из него какие-то элементы, которые нам полюбились по какому-нибудь признаку. Например, множество чётных чисел — это множество таких целых, которые делятся на 2. Теперь мы можем сказать, что ЧётныеЧисла = { x | x ∈ Z и x делится на 2 } — слева от черты пишется какой-то элемент, который мы проверяем на принадлежность, а справа — условие, когда эта принадлежность имеет место. (Как вы помните, Z — это множество целых чисел.)
Слева в конструкции { … | … } может быть и какое-нибудь выражение. Например, т. к. чётные и нечётные числа чередуются, можно, добавляя к каждому чётному 1, получить каждое нечётное. То бишь, НечётныеЧисла = { x + 1 | x ∈ Z и x делится на 2 }. Хотя это множество с тем же успехом можно обозначить и как { x - 5 | x ∈ ЧётныеЧисла }, и как { x | x ∈ Z и x
не делится на 2 }, и ещё много как, точно так же, как записи 1/2, 0,5 и 34/68 задают одно и то же число.
Множества не упорядочены — запись {a, b, c} означает ровно то же множество, что и {c, a, b}. Однако часто нам нужно иметь «контейнер», у которого есть первый элемент, второй элемент и т. д.. Например, координаты (x, y) [заметьте, круглость скобок показывает, что это вещь иная нежели {x, y}] точки на плоскости в привычной прямоугольной системе координат задаются двумя числами, и их порядок нельзя менять, т. к. взятые в обратном порядке координаты будут задавать другую точку, если только эти координаты не равны. Для нашего трёхмерного пространства нужны три координаты (x, y, z). Могут понадобиться и наборы из большего числа вещей. Эти наборы называют ещё по числу элементов —
двойками,
тройками, …,
n-ками (так и произносится — /э́нкам'и/), а ещё
кортежами — когда «размер» набора не важен, неизвестен либо просто хочется сказать красиво.
Давайте теперь представим некую Елену, и что в множестве A — блюда, которые она любит есть на завтрак, в B — на обед, а в C — на ужин (она предпочитает ровно трёхразовое питание, традиционалистка). Из этих блюд можно составлять тройки (a, b, c), где a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C — одной такой тройкой однозначно описывается вариант суточных кушаний Елены. Мы можем получить все возможные такие варианты — их множество запишется как { (a, b, c) | a ∈ A и b ∈ B и c ∈ C }. Оказывается, такие вещи довольно часто встречаются, и для них ввели ещё одну операцию над иножествами —
прямое (декартово) произведение, которое для упомянутого множества будет включать три множества: A × B × C. Здесь знак умножения нельзя опустить или заменить на точку ⋅ — поймут неправильно. Можно декартово умножить любое число множеств, а ещё заметьте, что, в отличие от умножения чисел, порядок имеет значение: {0, 1} × {4} будет содержать пары (0, 4) и (1, 4), а {4} × {0, 1} будет иметь вид ровно { (4, 0), (4, 1) }. Если бы пары были множествами, обратный порядок их элементов нам не помешал — но тут мы получаем разные результаты.
Кстати, почему
произведение? Самая близкая к нам сейчас причина — это то, что в A × B × C из примера с Еленой содержится столько вариантов поесть, сколько получится, если умножить число вариантов позавтракать, число вариантов обеда и число вариантов
переесть на ночь ужина. То есть, количество элементов у произведения множеств — произведение количеств элементов каждого из множителей.
В пустом множестве 0 элементов. Получается, в множестве A × ∅ тоже должно быть 0 — действительно, не найдётся ни одной пары, чтобы вторым элементом её было что-то, сожержащееся в ∅ — там же ничего нет! A × ∅ = ∅, да и ∅ × A = ∅ для любого множества A. Получается похоже на ноль у чисел! Что на него ни умножь, он всё «поглотит», оставив себя в результате.
Коль мы уже заговорили о количестве элементов, я покажу вам, как не париться и не писать «количество элементов множества Y». Будем писать это так: |Y|, типа модуль. У бесконечных множеств такое выражение не теряет смысл, но оно уже не будет числом.
Потренируемся его вставлять в правильных местах, переписав уже рассмотренные верные утверждения:
|∅| = 0
|{a}| = 1
|A × B| = |A| ⋅ |B|
|A × … × Z| = |A| ⋅ … ⋅ |Z|
Давайте теперь попробуем записать, чему равно |A ∪ B|. Это была бы сумма |A| и |B|, если бы элементы одного не могли содержаться в другом. При наличии таких элементов мы в выражении |A| + |B| каждый сосчитаем по два раза. Тут можно вовремя вспомнить, что A ∩ B как раз содержит эти дважды считающиеся элементы. А |A ∩ B|, получается, их количество! Если вычесть его из |A| + |B|, каждый элемент объединения будет посчитан по разу. Итак, |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|, или, более симметрично, |A ∪ B| + |A ∩ B| = |A| + |B|.
Проверьте это равенство для каких-нибудь двух конечных множеств чисел.
*
А теперь немного ещё повертим упорядоченные па́ры.
Представьте, что в одном множестве мы собрали разные страны, а в другом — разную погоду, которая случается иногда на земле. С помощью пары (
страна,
погода) можно описать, к примеру, что погода
погода встречается в стране
страна. Если собрать все подобные описания в одно множество, получим некоторое подмножество R произведения Страны × Погоды. Оно совпадало бы со всем им, если бы в каждой стране бывала всякая погода. (К счастью, это не так.) R может быть достаточно разной структуры в зависимости от Земли и деления на страны и типы погод, но оно всегда останется подмножеством от Страны × Погоды. Так вот, такие подмножества произведений A × B зовут
отношениями. Название объясняется тем, что конкретное R ⊂ A × B определяет «связи» элементов A и элементов B, показывая как они относятся друг к другу. Например, на целых числах можно показать кучу отношений, что я щас и покажу.
Сперва дополним ещё наш глоссарий. Если (a, b) ∈ R, то говорят, что
a и b находятся в отношении R и для разнообразия и удобства записывают это же ещё и как a R b. Кажется несколько странным такое написание, но это станет понятно сразу же после.
- { (a, b) | a ∈ Z и b ∈ Z и a меньше b } обозначается <. Привычно записывать «a меньше b» как a < b, не так ли?
- { (a, b) | a ∈ Z и b ∈ Z и a ⋅ 2 = b } содержит такие пары чисел, в которых второе — это удвоенное первое. Например, (8, 16), (-3, -6), (0, 0)…
- { (a, b) | a ∈ Z и b ∈ Z и a ≠ b } содержит пары из разных чисел. Если бы в него входили пары вообще любых не равных друг другу объектов, мы могли бы смело обозначать это отношение ≠.
- { (a, b) | a ∈ Слова и b ∈ Слова и a = «wardrobe» } содержит пары слов вида («wardrobe», что-нибудь). Это не интересное отношение, т. к. в нём любое слово относится к гардеробу и всё. Нелогично, неинформативно, странно — но четвёртый пример привести было надо.
Дальше рассказ пойдёт про
** одно из самых вездесущих понятий в математике — отображение, у которого из-за вездесущести много имён… Но перед этим будет отступление о кванторах и немного около.
* Если не придумывается, возьмите {2, 5, 8, 9} и {5, 4, 3}.
** И не только. Будут уточняться и доописываться и уже введённые вещи. Чтобы понять что-то, часто надо повертеть его в руках, покидать в стену и надкусить.