В общем случае решаются численно. Практически — на компьютере: например,
http://maxima.sourceforge.net/ Теоретически алгоритмы приближённого вычисления рассматривается в численных методах.
Например, для нахождения вещественных корней многочлена можно использовать такую стратегию. Предположим, что корни простые. Сначала с помощью
теоремы Штурма выясняем, сколько их — например, три. Потом с помощью пробных точек находим три непересекающихся интервала, в концах которых многочлен принимает значения разных знаков. Тогда на каждом интервале лежит ровно один корень. Как говорят, мы отделили корни. После этого их можно найти, скажем,
методом хорд, а если повезёт —
методом Ньютона.
Если многочлен имеет целые коэффициенты, то его рациональные корни можно найти методом перебора: числитель корня делит свободный член, а знаменатель — коэффициент при старшем члене (вариантов получается конечное число). Если корень c найден, то многочлен разделится на линейных двучлен x - c, и далее можно искать корни частного.