Великая книга тайн

В этой теме мы будем постить математические задачи. Совершенно разные задачи, которые кому-то показалось интересным сюда запостить.

Ответы, видимо, лучше засовывать в спойлер. Для удобства различения спойлеров я свои задачи пронумерую.

1. (Не моя.) Квадрат разрежьте на минимум частей, из которых складывается треугольник, у которого одна из сторон в четыре раза больше другой.

1ω. Сторона не в четыре, а в n ∈ N раз больше. Можно резать не по отрезкам, а по кривым!

2. Пускай f: C → C — аналитическая где надо функция и f(exp(2πi / n) z) = exp(−2πik / n) f(z) для каких-то целых n > 0, k. Найдите общий вид f.

2′. А теперь надо представить аналитическую функцию g в виде суммы решений таких уравнений с разными k, но фиксированным n. Т. е. выразите эти слагаемые через g, k, n.

2″. …в вещественном случае! (Тут меня как на зло лень взяла, но какое-то из распространённых интегральных преобразований, вроде, ответ дать должно.)

Моё решение (пока что без 1ω и 2″) тоже можно увидеть! Но оно вычисляется лениво.

Spoiler: 2 и 2′

http://dxdy.ru/post977438.html#p977438

3. Монета. См. http://dxdy.ru/post900453.html#p900453.

(23-08-2015 18:43)arseniiv писал(а):  3. Монета. См. http://dxdy.ru/post900453.html#p900453.

Spoiler:

Прочитал только условие задачи, чтобы самостоятельно подумать о решении. Оптимальный алгоритм (т. е. дающий минимальное матожидание числа бросаний монетки), думаю, такой:
(через x % y обозначается операция взятия остатка от деления числа x на y, с тем же приоритетом, что и умножение и деление)
1. Берём A = 1 и B = 0
2. Проверяем, меньше ли B, чем C = A - A % n; если меньше, то берём в качестве случайно сгенерированного числа B % n + 1 и завершаем алгоритм; если нет, то уменьшаем A и B на С и идём дальше
3. Увеличиваем A в два раза и бросаем монетку; в зависимости от результата бросания заменяем B на 2B или на 2B + 1 (т. е. приписываем к числу B в двоичной записи случайный бит справа) и переходим к пункту 2

Легко убедиться, что на каждом этапе число B является случайным равномерно распределённым числом от 0 до A - 1.
Попозже проверю, оптимален ли алгоритм, и посчитаю матожидание.

Насколько моя голова не фейлит, это решение настолько же хорошо, насколько решение Null в теме по ссылке, совпадая с ним.

Вот задача, которую я уже, кажется, постил в одном из чатиков. Решения не знаю.

Последовательность натуральных чисел a(n) задана так: a(n) — наименьшее натуральное m такое, что m! > n^m. Доказать, что при n -> ∞ a(n)/n -> e.