Теория множеств I: наивная теория множеств

Начну с неформального описания теории множеств, а закончу тем, почему этого мало.

Привычный многим кусок математики имеет дело с числами (как правило, рациональными: -7, 0,28, 31/7…). Мы можем их умножать, складывать, сравнивать; решать уравнения, да и просто находить числа с нужными свойствами — и много чего ещё. Теория множеств примерно так же обходится с множествами — крутит их по-всякому, в общем.

Множество можно для начала понимать как прозрачный пакет, в котором могут находиться вещи: числа, картины, цвета, названия биологических видов, стихотворения Марины Цветаевой, фонемы японского языка в состоянии двумя веками раньше, другие множества… Самих пакетов у нас, предположим, целая упаковка, и они для нас ничего не значат; просто неразличимы — можно пересыпать содержимое из одного пакета в другой, и тот будет представлять собой то же множество.

Самое основное, что мы можем сделать с такими пакетами — узнать, находится в данном такой-то предмет или нет. Например, в множестве чётных чисел есть 2, 6794 и нету 1113. Говорят, что 2 принадлежит этому множеству, а 1113 не принадлежит, или, что то же самое, множество чётных чисел содержит 2 и не содержит 1113. А обозначается это так: 2 ∈ ЧётныеЧисла, 1113 ∉ ЧётныеЧисла.

Множества можно сравнивать. Два множества A и B равны, если каждый элемент A содержится и в B, а каждый не принадлежащий A объект не принадлежит и B. Иными словами, принадлежность любой вещицы первому множеству эквивалентна принадлежности её второму. Если хоть один элемент одного из множеств отсутствует в другом — они уже не равны — это важное замечание: чтобы доказать, что A и B равны, нужно оперировать общими суждениями, тогда как чтобы показать обратное, достаточно одного частного — контрпримера. Например, легко доказать, что множество смартфонов не равно множеству телефонов (как бы изощрённо мы их не определяли) — Nokia 1112 входит во второе и не входит в первое.

Как одно число может быть больше другого, так и множество может включаться в другое. Множество A является подмножеством B, когда все элементы A содержатся также и в B. Например, множества как чётных, так и нечётных чисел — это подмножества множества целых чисел. Записывают это так: ЧётныеЧисла* ⊂ Z, НечётныеЧисла ⊂ Z. Шарфы не входят в множество обуви — Шарфы ⊄ Обувь.

«Чаще всего» из двух множеств ни одно не является подмножеством другого — когда как в первом есть элементы, которых нет во втором, так и во втором есть что-то, чего нет в первом, как ЧётныеЧисла и НечётныеЧисла. Однако есть множество, которое входит в любое другое. Что это за множество? Чтобы C входило в любое множество, все его элементы должны быть в этом любом. Рассмотрим снова множества чётных и нечётных чисел. Чтобы наше C было подмножеством каждого из них, в нём не должно быть никаких вещей кроме чисел — иначе оно не будет подмножеством ни чётных, ни нечётных — а также чётных чисел — иначе оно не будет подмножеством первого — да и нечётных оно содержать тоже не должно. Получается, в этом множестве вообще ничего не должно содержаться, что может показаться несоответствующим названию «множество». Что ж, такое название прижилось в русском языке, а полученное нами множество C называется пустым и обозначается ∅.

Ещё заметка: равные множества являются подмножествами друг друга, т. к. для них выполняется предыдущее определение. И наоборот, из A ⊂ B и B ⊂ A, оказывается, всегда
следует A = B. Это совсем не нужно принимать на веру; вот доказательство того, что если (1) A ⊂ B и (2) B ⊂ A, то A = B:

Рассмотрим любой предмет ы. Если ы ∈ A, то по первому условию ы ∈ B. Если ы ∉ A, предположим, что ы ∈ B всё равно. Тогда по второму условию ы ∈ A, что приводит к противоречию. Значит, наше предположение не верно, и ы ∉ B. Получили ровно определение равенства A и B: каждый принадлежащий A элемент принадлежит B, каждый не принадлежащий — не принадлежит B. ◼**

Есть несколько операций, которые позволяют получать из одних множеств другие:

• объединение множеств A ∪ B содержит объекты, принадлежащие хотя бы одному из A или B;
• пересечение множеств A ∩ B содержит элементы первого, также являющиеся элементами и второго;
• разность множеств A \ B содержит элементы A, не содержащиеся в B;
• симметрическая разность A △ B содержит объекты, которые есть только в A или только в B.
  

Проиллюстрирую их на конечных множествах. Множество конечного размера можно определить, выписав по очереди все его элементы. Этим часто пользуются и пишут {a, b, c, d} для обозначения множества первых 4-х букв латинского алфавита и {-2, 2} для множества корней уравнения x² = 4. Итак, пусть R = {1, 2, 3, 8} и Q = {0, 2, 4, 6, 8}. Тогда
Q ∪ R = R ∪ Q = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8},
Q ∩ R = R ∩ Q = {2, 8},
Q \ R = {0, 4, 6},
R \ Q = {1, 3},
Q △ R = R △ Q = {0, 1, 3, 4, 6}.

Результат объединения, пересечения и симметрической разности не зависит от порядка операндов всегда.

Когда пересечение множеств пусто, их называют не пересекающимися. Множества городов Европы и Америки не пересекаются (хотя множества соответствующих названий пересекаются. Например, в пересечение входит «Афины»).

Несколько простых задач:

1. Докажите, что A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A).
2. Докажите, что следующие предложения равносильны: A ⊂ B; A ∪ B = B; A ∩ B = A; A \ B = ∅; A △ B = B \ A.
3. Докажите, что A \ B = B \ A тогда и только тогда, когда A = B, и при этом эти разности равны ∅.
4. Чему равно (A △ B) △ A?
5. Запишите выражение (Y \ A) ∪ (Y \ B) покороче.
   

Пока всё. Пишите письма — у меня нет уверенности, что я написал понятно для целевой аудитории. Например, я чувствую, что следует для начала заняться исчислением высказываний — не могу избавиться от зависимости от некоторых рассматриваемых там относящихся к логике вещей.

* Позже я введу несколько способов обозначать эти множества по-другому, а пока пускай так.
** Конец доказательства.

Про пакеты не очень понял.

Фактически написано, но ещё раз заострить внимание: каждый если объект входит в множество, то только один раз. Для полноты изложения — изначальное определение Кантора:

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).

О, в википедии даже по-немецки есть:


Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen.


Ещё можно про произведения и фактор-множества. И, конечно же, отображения! Чтобы было в теоретико-категориальном духе.

Да-да, это надо сделать! Правда, я не знаю, получится в духе или нет. Насколько догадываюсь, определение через отношение не в этом духе (но тогда как?)? [Интересно, можно ли построить всё на отображениях?]

О! А я с телефона читал думал что там на месте треугольника ⊕ стоит. ан нет.

(13-10-2012 19:37)Quasus писал(а):  Про пакеты не очень понял.

+1. По-моему пример с пакетами скорее запутывает, чем помогает.

Ещё раз повторю, что множества бывают элементами других множеств (такие множества множеств называют ещё семействами, чтобы лишний раз не упражняться в риторике). Например, прямая — это бесконечное множество точек, отрезок — тоже бесконечное множество точек (хотя он и имеет конечную длину — что с этим делать, я дальше расскажу). Множество отрезков, лежащих на данной прямой — это как раз семейство множеств. А ещё семейство — множество прямых, параллельных данной.

Итак, дорогие читатели, мы теперь можем немного манипулировать множествами. Сейчас я покажу вам ещё способы.

Во-первых, не стоит забывать, что мы можем составлять конечные множества, в которых содержится ровно то, что нам нужно: если x ∈ {a, b, c}, то x = a, или x = b, или x = c.

Мы можем также взять множество A, а потом отобрать из него какие-то элементы, которые нам полюбились по какому-нибудь признаку. Например, множество чётных чисел — это множество таких целых, которые делятся на 2. Теперь мы можем сказать, что ЧётныеЧисла = { x | x ∈ Z и x делится на 2 } — слева от черты пишется какой-то элемент, который мы проверяем на принадлежность, а справа — условие, когда эта принадлежность имеет место. (Как вы помните, Z — это множество целых чисел.)

Слева в конструкции { … | … } может быть и какое-нибудь выражение. Например, т. к. чётные и нечётные числа чередуются, можно, добавляя к каждому чётному 1, получить каждое нечётное. То бишь, НечётныеЧисла = { x + 1 | x ∈ Z и x делится на 2 }. Хотя это множество с тем же успехом можно обозначить и как { x - 5 | x ∈ ЧётныеЧисла }, и как { x | x ∈ Z и x не делится на 2 }, и ещё много как, точно так же, как записи 1/2, 0,5 и 34/68 задают одно и то же число.

Множества не упорядочены — запись {a, b, c} означает ровно то же множество, что и {c, a, b}. Однако часто нам нужно иметь «контейнер», у которого есть первый элемент, второй элемент и т. д.. Например, координаты (x, y) [заметьте, круглость скобок показывает, что это вещь иная нежели {x, y}] точки на плоскости в привычной прямоугольной системе координат задаются двумя числами, и их порядок нельзя менять, т. к. взятые в обратном порядке координаты будут задавать другую точку, если только эти координаты не равны. Для нашего трёхмерного пространства нужны три координаты (x, y, z). Могут понадобиться и наборы из большего числа вещей. Эти наборы называют ещё по числу элементов — двойками, тройками, …, n-ками (так и произносится — /э́нкам'и/), а ещё кортежами — когда «размер» набора не важен, неизвестен либо просто хочется сказать красиво.

Давайте теперь представим некую Елену, и что в множестве A — блюда, которые она любит есть на завтрак, в B — на обед, а в C — на ужин (она предпочитает ровно трёхразовое питание, традиционалистка). Из этих блюд можно составлять тройки (a, b, c), где a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C — одной такой тройкой однозначно описывается вариант суточных кушаний Елены. Мы можем получить все возможные такие варианты — их множество запишется как { (a, b, c) | a ∈ A и b ∈ B и c ∈ C }. Оказывается, такие вещи довольно часто встречаются, и для них ввели ещё одну операцию над иножествами — прямое (декартово) произведение, которое для упомянутого множества будет включать три множества: A × B × C. Здесь знак умножения нельзя опустить или заменить на точку ⋅ — поймут неправильно. Можно декартово умножить любое число множеств, а ещё заметьте, что, в отличие от умножения чисел, порядок имеет значение: {0, 1} × {4} будет содержать пары (0, 4) и (1, 4), а {4} × {0, 1} будет иметь вид ровно { (4, 0), (4, 1) }. Если бы пары были множествами, обратный порядок их элементов нам не помешал — но тут мы получаем разные результаты.

Кстати, почему произведение? Самая близкая к нам сейчас причина — это то, что в A × B × C из примера с Еленой содержится столько вариантов поесть, сколько получится, если умножить число вариантов позавтракать, число вариантов обеда и число вариантов переесть на ночь ужина. То есть, количество элементов у произведения множеств — произведение количеств элементов каждого из множителей.

В пустом множестве 0 элементов. Получается, в множестве A × ∅ тоже должно быть 0 — действительно, не найдётся ни одной пары, чтобы вторым элементом её было что-то, сожержащееся в ∅ — там же ничего нет! A × ∅ = ∅, да и ∅ × A = ∅ для любого множества A. Получается похоже на ноль у чисел! Что на него ни умножь, он всё «поглотит», оставив себя в результате.

Коль мы уже заговорили о количестве элементов, я покажу вам, как не париться и не писать «количество элементов множества Y». Будем писать это так: |Y|, типа модуль. У бесконечных множеств такое выражение не теряет смысл, но оно уже не будет числом.

Потренируемся его вставлять в правильных местах, переписав уже рассмотренные верные утверждения:

|∅| = 0
|{a}| = 1
|A × B| = |A| ⋅ |B|
|A × … × Z| = |A| ⋅ … ⋅ |Z|

Давайте теперь попробуем записать, чему равно |A ∪ B|. Это была бы сумма |A| и |B|, если бы элементы одного не могли содержаться в другом. При наличии таких элементов мы в выражении |A| + |B| каждый сосчитаем по два раза. Тут можно вовремя вспомнить, что A ∩ B как раз содержит эти дважды считающиеся элементы. А |A ∩ B|, получается, их количество! Если вычесть его из |A| + |B|, каждый элемент объединения будет посчитан по разу. Итак, |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|, или, более симметрично, |A ∪ B| + |A ∩ B| = |A| + |B|.

Проверьте это равенство для каких-нибудь двух конечных множеств чисел.*

А теперь немного ещё повертим упорядоченные па́ры.

Представьте, что в одном множестве мы собрали разные страны, а в другом — разную погоду, которая случается иногда на земле. С помощью пары (страна, погода) можно описать, к примеру, что погода погода встречается в стране страна. Если собрать все подобные описания в одно множество, получим некоторое подмножество R произведения Страны × Погоды. Оно совпадало бы со всем им, если бы в каждой стране бывала всякая погода. (К счастью, это не так.) R может быть достаточно разной структуры в зависимости от Земли и деления на страны и типы погод, но оно всегда останется подмножеством от Страны × Погоды. Так вот, такие подмножества произведений A × B зовут отношениями. Название объясняется тем, что конкретное R ⊂ A × B определяет «связи» элементов A и элементов B, показывая как они относятся друг к другу. Например, на целых числах можно показать кучу отношений, что я щас и покажу.

Сперва дополним ещё наш глоссарий. Если (a, b) ∈ R, то говорят, что a и b находятся в отношении R и для разнообразия и удобства записывают это же ещё и как a R b. Кажется несколько странным такое написание, но это станет понятно сразу же после.

• { (a, b) | a ∈ Z и b ∈ Z и a меньше b } обозначается <. Привычно записывать «a меньше b» как a < b, не так ли?
• { (a, b) | a ∈ Z и b ∈ Z и a ⋅ 2 = b } содержит такие пары чисел, в которых второе — это удвоенное первое. Например, (8, 16), (-3, -6), (0, 0)…
• { (a, b) | a ∈ Z и b ∈ Z и a ≠ b } содержит пары из разных чисел. Если бы в него входили пары вообще любых не равных друг другу объектов, мы могли бы смело обозначать это отношение ≠.
• { (a, b) | a ∈ Слова и b ∈ Слова и a = «wardrobe» } содержит пары слов вида («wardrobe», что-нибудь). Это не интересное отношение, т. к. в нём любое слово относится к гардеробу и всё. Нелогично, неинформативно, странно — но четвёртый пример привести было надо.
  

Дальше рассказ пойдёт про** одно из самых вездесущих понятий в математике — отображение, у которого из-за вездесущести много имён… Но перед этим будет отступление о кванторах и немного около.

* Если не придумывается, возьмите {2, 5, 8, 9} и {5, 4, 3}.
** И не только. Будут уточняться и доописываться и уже введённые вещи. Чтобы понять что-то, часто надо повертеть его в руках, покидать в стену и надкусить.

(13-10-2012 20:43)arseniiv писал(а):  Да-да, это надо сделать! Правда, я не знаю, получится в духе или нет. Насколько догадываюсь, определение через отношение не в этом духе (но тогда как?)? [Интересно, можно ли построить всё на отображениях?]

Дух теории категорий просто в том смысле, что объекты без морфизмов — деньги на ветер.

Определить можно через «правило/закон/отношение», а потом формализовать. Формализация — это же вроде как имплементация. Если есть стандартная формализация, это не значит, что она что-то даёт для понимания сути дела. (Впрочем, обычное определение через отношение — просто большая-пребольшая таблица значений.)

Что построить на отображениях? Теорию множеств? В ключе теории категорий можно (конечно, не удастся различать равномощные объекты). Например, объединение формализуется так. Пусть A и B — данные множества. Рассмотрим категорию, в которой объектами являются диаграммы A → X ← B, а морфизмами — такие отображения X → Y, что диаграмма

Код:

​    X
  ↗   ↖
A   ↓   B
  ↘   ↙
    Y

коммутативна. Универсальный объект этой категории и называется объединением множеств A и B.

Итаг, я заобещался и ничего не пишу. Это нехорошо.

Язык математической логики. Он нам понадобится дальше. И мне жалко, что я не ввёл его вначале.

Логика рассматривает высказывания — некие сущности, которые могут быть истинными или ложными — обязательно что-то из двух и не оба сразу — и связь истинности разных высказываний. Вначале, будучи веткой философии, логикам приходилось тяжко — как бедным протоалгебраистам, описывающим квадратные уравнения и их решение словами. У последних было целых пять* видов уравнений, так как они ещё и отрицательные числа не любили. Теперь же у нас есть удобный компактный язык.

Как и любые вещи, высказывания можно обозначать буквами. Это пригождается, когда мы начинаем строить из одних высказываний другие. Для этого есть операции, похожие даже немного на операции над множествами. Пускай у нас есть высказывания A и B, тогда из них мы можем построить следующее:

• Отрицание ¬A. Оно истинно, когда A ложно и ложно, когда A истинно. ¬B построить тоже, конечно, можно. Эта операция одноместная, берущая только один аргумент. Остальные рассматриваемые операции двуместные.
• Дизъюнкция A ∨ B. Она истинна, когда какой-либо из аргументов истинен, а ложна только тогда, когда оба ложны.
• Конъюнкция A & B истинна, наоборот, только когда и A, и B истинны, а ложна в остальных случаях.
• Импликация или следование A ⇒ B. Она ложна в случае, если истинно A и ложно B. В остальных случаях она истинна. Название вызвано тем, что если из A следует B, высказывание A ⇒ B истинно.
• Эквивалентность A ⇔ B истинна, когда истинность A и B одинакова — они оба истинны или оба ложны. Когда истинности разные, A ⇔ B ложно.
• Строгая дизъюнкция A ⊕ B истинна, когда ложна эквивалентность A ⇔ B — когда один аргумент истинен в то время как другой ложен. Строгая дизъюнкция отличается от «простой» (нестрогой) тем, что когда A и B оба истинны, первая ложна, а вторая истинна.
  

В русском языке тоже можно строить одни высказывания из других, но его многозначность иногда не позволяет даже с контекстом определить, что вышло. Хотя есть и практически точные соответствия: «не A», «неверно, что A» означает ¬A; «A или B» означает дизъюнкцию, хотя «или A, или B», «A либо B» соответствуют уже строгой дизъюнкции; «A и B» соответствует конъюнкции; «если A, то B», «A влечёт B» и пр. соответствуют импликации; а страшное и не сказать чтобы русское «A тогда и только тогда, когда B» эквивалентности соответствует — когда она нужна не испорченным математикой людям, она выражается более длинным, но понятным способом.

Будем писать A = 1, когда A истинно, и A = 0, когда A ложно. Тогда можно говорить о значении A — и это поможет дальше. А пока с помощью этого можно нарисовать таблицу истинности для логических операций, чтобы было явнее, какие высказывания они дают. Сначала простая маленькая табличка для ¬A:

A	¬A
0	1
1	0

Она читается так: «когда A = 0, ¬A = 1, а при A = 1 значением ¬A будет 0».

Таблицы истинности для высказываний A ∨ B, A & B, A ⇒ B, A ⇔ B, A ⊕ B в зависимости от истинности A и B я совмещу в одну широкую. Вместе их, к тому же, удобнее сравнивать.

A	B	A ∨ B	A & B	A ⇒ B	A ⇔ B	A ⊕ B
0	0	0	0	1	1	0
0	1	1	0	1	0	1
1	0	1	0	0	0	1
1	1	1	1	1	1	0

С помощью таблиц истинности можно сделать много полезных вещей. Например, заметим по предыдущей, что A ⇔ B — это ¬(A ⊕ B) (и наоборот — вообще, отрицание всегда «взаимно»**).

Будем писать A = B, если A истинна тогда же, когда B — т. е. если A ⇔ B = 1, а формулы, которыми записаны A и B, называть эквивалентными.

С помощью таблицы истинности или по определениям можно показать такие эквивалентности:

• A & B = B & A,
• A ∨ B = B ∨ A,
• (A & B) & C = A & (B & C),
• (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C),
• A & (B ∨ C) = (A & B) ∨ (A & C),
• A ∨ (B & C) = (A ∨ B) & (A ∨ C),
• A ∨ (A & B) = A & (A ∨ B) = A,
• A & A = A ∨ A = A,
• ¬¬A = A,
• A ⇒ (B ⇒ C) = (A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C),
• A ⇒ (B ⇒ C) = B ⇒ (A ⇒ C),
• A ⇒ B = ¬B ⇒ ¬A,
• A ⇔ B = B ⇔ A,
• A ⊕ B = B ⊕ A,
• (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C).
  

Обозначим всегда ложное высказывание 0, а всегда истинное 1 и дальше:

• A & 1 = A,
• A & 0 = 0,
• A & ¬A = 0,
• A ∨ 1 = 1,
• A ∨ 0 = A,
• A ∨ ¬A = 1.
  

А вот эквивалентности, позволяющие избавляться в формулах от одних операций, переходя к другим:

• ¬(A & B) = ¬A ∨ ¬B,
• ¬(A ∨ B) = ¬A & ¬B,
• ¬(A ⊕ B) = A ⇔ B,
• A ⇒ B = ¬A ∨ B,
• A ⇔ B = (A ⇒ B) & (B ⇒ A),
• A ⇔ B = (A & B) ∨ (¬A & ¬B),
• A ⊕ B = (A ∨ B) & (¬A ∨ ¬B).
  

С помощью всех этих эквивалентностей можно преобразовывать страшные формулы в простые и понятные.

Теперь рассмотрим высказывания, зависящие от каких-нибудь вещей. Например, «x < 8» зависит от x, «a + b = c + d» зависит от четырёх переменных.

Появляются новые операции, которые можем над ними делать — можно определённым образом исключать из них переменные.

Пусть есть у нас какое-то высказывание A[x]. (Квадратные скобки показывают, что оно зависит от x.) Тогда можно взять какое-то множество M и посмотреть, какое значение принимают A[m₁], A[m₂] и т. д., подставляя в A вместо x элементы M. Получим набор логических значений. Так вот,

• ∀m ∈ M : A[m] обозначает высказывание, истинное только тогда, когда весь набор A[m] истинен.
• ∃m ∈ M : A[m] обозначает высказывание, ложное только когда весь набор ложен.
• ∃!m ∈ M : A[m] обозначает высказывание, которое истинно, если ровно на одном элементе s ∈ M A[s] = 1, а на остальных A ложно.
  

Читаются они соответственно так: «для всех m из M верно/истинно/выполняется/(пустая связка) A[m]», «существует m из M такой, что A[m]», «существует и единственно m из M такое, что A[m]».

Символы ∀, ∃ и ∃! зовутся кванторами. Видим, что новые высказывания уже никак не зависят ни от каких переменных — переменные «связаны» кванторами. Имея высказывание, зависящее от 8 переменных и «повесив» на него 5 кванторов, получим высказывание, азвисящее от 3 переменных.

Друг через друга кванторы выражаются так:

• ∃m ∈ M : ¬A[m] ⇔ ¬∀m ∈ M : A[m],
• ∀m ∈ M : ¬A[m] ⇔ ¬∃m ∈ M : A[m],
• ∃!m ∈ M : ¬A[m] ⇔ ∃m ∈ M (A[m] & ∀a ∈ M : A[a] ⇒ a = m).
  

Двоеточие перед скобками я здесь не писал ради удобства чтения, буду так делать и дальше.

Другие соотношения эквивалентности для формул с кванторами я приводить не буду, надеясь на интуицию читателей и свою.

P. S. Прошу вас, не пугайтесь. (А задачи мне писать лень.) Следующая запись будет относиться к функциям и далее.

* Точно не помню. Желающие могут посчитать сами!
** Построив таблицу истинности для ¬(¬A), вы убедитесь, что истинность этого высказывания совпадает с истинностью A. И если B = ¬A, то ¬B = ¬¬A = A, то бишь, А является отрицанием B, если B является отрицанием A.

Караул! Что-то сбилось в разметке сообщения. Не читайте пока.

Я над ним поиздевался, но не смог добиться нужного результата.

UPD 04.09.2013: Починил! Ура!

(13-10-2012 22:59)arseniiv писал(а):  Однако часто нам нужно иметь «контейнер», у которого есть первый элемент, второй элемент и т. д.. … Эти наборы называют ещё по числу элементов — двойками, тройками, …, n-ками (так и произносится — /э́нкам'и/), а ещё кортежами — когда «размер» набора не важен, неизвестен либо просто хочется сказать красиво.

Может, сто́ит привести и «имплементацию» n-ок через множетсва, чтобы показать, что они не какие-то сторонние/несводимые, и что можно всё определить с помощью одних только множеств?
Заодно, доказательства работоспособности такой имплементации (что, например, {{a, b}, {a}} = {{a', b'}, {a'}}  ⇔  a = a' & b = b') послужат примером к материалу первой главы.